בפעם הבאה שאתם רואים רצף בעבודה, אם תסתכלו לו על הידיים תראו מתמטיקה בפעולה.
נושא הריצופים אולי נשמע כמו משהו ששייך רק לאתרי בנייה, אבל האמת היא שמדובר באחד התחומים המרתקים ביותר בגיאומטריה. לא לחינם תלמידי 3 יח”ל בכיתה י’ פוגשים אותו בספרי הלימוד: זהו המקום שבו המספרים הופכים לצורות שחייבות להשתלב זו בזו בצורה מושלמת, בלי להשאיר אפילו חריץ אחד קטן של אוויר.
אבל מה שמתחיל בכיסוי פשוט של רצפת המטבח, התגלגל לאחת הדרמות הגדולות ביותר בעולם המדע. מי היה מאמין שדווקא הניסיון להבין איך אטומים מרצפים את עצמם יוביל מדען ישראלי לוויכוח סוער עם כל העולם, ובסופו של דבר לפרס נובל?
מהו ריצוף?
לפי ההגדרה המתמטית ריצוף הוא למעשה כיסוי מישור באמצעות מצולעים. במילים אחרות, ריצוף הוא כיסוי משטח כלשהו באמצעות מרצפות (או חומר אחר) בצורת מצולע. הכיסוי צריך להיות מהודק, כלומר כזה שבו מצולעי הריצוף צמודים לחלוטין זה לזה. ריצוף יכול להיות ממצולעים משוכללים וממצולעים לא משוכללים. זו בסופו של דבר מלאכת הרכבה, ממש כמו בפאזל.
ריצופים בטבע
אוקיי, זה נשמע לא סביר, אבל זה ממש קורה! הדבורים שלנו הן רצפות מדופלמות. ביצירת הכוורת הן יוצרות מבנה מרוצף ממשושים. כלומר משושה אחד שחוזר על עצמו.
ריצופים בחיינו
ריצופים זה לא רק מה כיסוי רצפות הבתים במרצפות או חיפוי של מבנים. הריצופים קיימים בחיינו גם בתחום האומנות. בגרנדה שבספרד שוכן ארמון אלהמברה המפורסם בריצופי הקירות האומנותיים שבו. בתקופת המאה ה-14 נאסר על האומנים המוסלמים בספרד לצייר דמויות אדם והם מצאו נחמה במתמטיקה. הם יצרו ריצופי קיר מרהיבים ביופיים בעלי 17 סוגי סימטריה שונים (שהוכחו מתמטית בסוף המאה ה-19).
אבל אומנם אמרנו שבריצופים אנחנו משתמשים במצולעים, האומן אשר ההולנדי שבר את המוסכמה ויצר יצירות מורכבות בעלות מאפיינים מתמטיים שונים. תראו איך הכל מתחבר. אשר, הושפע רבות מיצירות הריצוף שראה בארמון אלהמברה. בעקבות כך יצר יצירות אומנות בהן עשה שימוש בריצופים. אחת מפורסמת היא “מטאמורפוזה” שבה הוא משתמש בריצופים גיאומטריים שבה הוא הופך את העיר אטראני (שבאיטליה) לדמות אדם. עכשיו, אמרנו שבריצופים מתמטיים אנחנו משתמשים במצולע שחוזר על עצמו כמה פעמים שצריך על מנת לכסות שטח, אבל אצל אשר האומן כבר רואים סוג של ריצוף שהוא שונה, שלא עושה שימוש במצולע אחד שחוזר על עצמו. הריצוף של אשר הוא מיוחד בכך שהצורות שמרכיבות אותו משתנות בהדרגה.
אשר הראה לנו שריצוף לא חייב להיות משעמם. פרופ’ דן שכטמן לקח את זה צעד אחד קדימה. הוא גילה שהטבע עצמו מרצף בצורה שהיא לא רק מעניינת, אלא פועל לפי חוקים שאינם חוזרים על עצמם לעולם. כן כן, בעולם הפיזיקה והכימיה אפשר לרצף בצורה שונה מהריצוף בגיאומטריה. ולמה הכוונה?
ריצוף מחזורי vs. ריצוף שאינו מחזורי
אז בריצוף הגיאומטרי ראינו שיש מצולע אחד שחוזר על עצמו ואצל הדבורים ראינו שבניית הכוורת נעשית רק באמצעות צורת המשושה. מה שנקרא ריצוף מחזורי. זה אומר שאם נבחר נקודה אחרת בשטח מרוצף הסביבה שלה תהיה זהה לסביבתה של נקודה אחרת באותו שטח. מה שפרופ׳ דן שכטמן גילה היה מדהים, ועל הגילוי שלו הוא זכה בפרס נובל!
אומנם אנחנו מתעסקים במתמטיקה, אבל זה המקום שבו תחומי הדעת משתלבים. וגם, גאווה ישראלית וזה.. התגלית של פרופ’ דן שכטמן היתה בנוגע לסידור האטומים בגבישים. מה שהיה ידוע עד לגילוי של פרופ׳ דן שכטמן הוא שהאטומים (אבני הבניין של הגבישים) מסודרים במבנה מחזורי עם חוקיות קבועה. בדיוק כמו שראינו שקורה בריצוף הגיאומטרי. דן שכטמן גילה אחרת. הוא מצא גבישים ששברו את כל מה שהיה ידוע בעולם עד אז וכל עולם המדע התבסס עליו. הוא מצא גבישים שמרוצפים בצורה לא מחזורית. כלומר הסביבה של נקודה כלשהי בגביש שונה מנקודה אחרת. ואלו הם הקוואזי גבישים. חומרים שהם מסודרים להפליא, אבל הריצוף שלהם מתוחכם ולא חוזר על עצמו לעולם. הוא בעצם הרחיב את גבולות הטבע והמדע.
למה צריך את זה
אז נכון, לא כולנו מדענים או נהיה מדענים ולא כולנו ממש מבינים מה העניין עם גבישים, ותכלס זה גם לא העניין. מה שהינו רוצים שתקחו מהכתבה הזו הוא את הרעיון שתחומי הדעת משתלבים. במקרה הזה, נושא שנלמד במתמטיקה אי שם בתיכון ומעלה בכם את השאלה הקיומית ״למה צריך לדעת את זה?״ יכול לפגוש אתכם ככה סתם ביום בהיר מתישהו בעתיד.
בסופו של דבר, לא כולנו נהיה מדעני חומרים או נחקור אטומים במעבדה כמו פרופ’ שכטמן. הסיפור של הריצופים הוא הסיפור של הסקרנות האנושית. הוא מזכיר לנו שגם נושא שנראה “יבש” בספר המתמטיקה, יכול להיות המפתח להבנת הסודות הכי גדולים של היקום.
אז בפעם הבאה שאתם פותרים תרגיל על ריצופים, אל תראו רק מצולעים על דף. תראו את האמנות של אלהמברה, את הדמיון של אשר ואת הגאווה הישראלית שכבשה את פסגת המדע.
מי יודע לאן המרצפת הבאה שתדרכו עליה תוביל אתכם?!
