מכירים את השלב הזה בשעשועונים שהמנחה שואל את המשתתף שאלה ואז הוא עונה ואז המנחה שואל “בטוח?”. אם לדייק, הכוונה לשלב הזה בסוף השעשועון שהמתמודד צריך להחליט היכן מסתתר פרס המכונית הנחשק. ואז המנחה נותן אפשרות להחליף את התשובה, או בעצם את ההימור. ואז דילמה, אולי אפילו, לא עלינו, יוצאים לפרסומות.
השאלה שאנחנו רוצים לשאול ולענות עליה היא אם כדאי במקרה כזה להחליף את התשובה.
פרדוקס מונטי הול מדבר בדיוק על המצב הזה.
מי זה מונטי הול?
מונטי הול היה מנחה של שעשועון טלוויזיה אמריקאי “Let’s Make a Deal” (בואו נעשה עסק). בשלב הסיום של כל תוכנית המשתתף היה צריך לבחור בדלת אחת מבין שלוש דלתות, שלדעתו מאחוריה נמצא הפרס, מכונית. בחירה באחת משתי הדלתות האחרות תקנה למשתתף את הפרס המכובד, עיזה חביבה.
הבעיה (או מה קורה בשעשועונים בדרך כלל)
לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, נניח דלת מספר אחת, המנחה שיודע מהי הדלת הנכונה, פותח אחת משתי הדלתות האחרות, נניח דלת מס׳ 3 וחושף שמאחוריה יש עז. כעת מאפשרים לשחקן להחליט אם לדבוק בבחירה המקורית שלו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה שנותרה, דלת מספר שתיים.
קוריוז קטן, מונטי הול מעולם לא הציע למשתתפים להחליף דלתות. הוא כן הציע להם פרסים חלופיים במקום מה שמסתתר מאחורי הדלת. איכשהו הפרדוקס הזה עדיין נושא את שמו של מר הול וכך הוא מוכר לכל. בנוסף, הבעיה הזו או הפרדוקס הזה הוצגו לעולם כבר במאה ה-19 והיא חזרה להתפרסם לאורך המאה ה-20 בהזדמנויות שונות.
מונטי הול מסביר על הפרדוקס:
הסיכוי שנהמר נכון – הסתברות!
למעשה הסיטואציה השגרתית הזו בשעשועונים (וגם בחיים האמיתיים) מתקשרת לנושא מתמטי שנקרא הסתברות. מה זה בעצם הסתברות? ההסתברות היא סיכוי תיאורטי שיקרה מצב מסוים והוא ניתן לחישוב בצורה מדויקת.
בבית הספר אנחנו לומדים על הנושא הזה למשל כשאנחנו נשאלים “מה ההסתברות (הסיכוי) שבהטלת קובייה יתקבל המספר שלוש?” אז התשובה היא פשוטה, מאחר שיש שישה מספרים על הקובייה, הסיכוי שיצא מספר כלשהו הוא אחת מתוך שש.
האם המכונית נמצאת מאחורי דלת מספר אחת, שתיים או שלוש?
אז המשתתף בשעשועון הדמיוני שלנו הגיע לשלב הסופי והתקרב צעד נוסף לקראת הפרס הנחשק, מכונית. מולו נצבות שלוש דלתות סגורות, וכעת המשימה האחרונה שמטיל עליו המנחה היא לנחש מאחורי איזו דלת נמצאת המכונית. המשתתף שלנו בוחר את דלת מספר 1. הסיכוי (ההסתברות) שאכן המכונית נמצאת מאחורי הדלת הזו והוא למעשה יזכה במכונית הוא . ומה עושה המנחה? פותח את דלת מספר שתיים שבה הוא יודע בוודאות שלא נמצאת המכונית. כעת המנחה מעלה בפני המתמודד את השאלה, האם ברצונו לשנות את בחירתו, כלומר אולי המתמודד חושב כעת שהמכונית נמצאת מאחורי דלת מספר שלוש.
“להחליף או לא להחליף, זאת השאלה!”
פה בדיוק נעוץ הפרדוקס!
רוב האנשים אומרים שאין ממש סיבה להחליף, כי יש כעת סיכוי של 50/50 לזכות, לכאורה. כלומר הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי דלת מספר אחת זהה לסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי דלת מספר שלוש.
השאלה הזו, להחליף או לא להחליף, סחפה מתמטיקאים רבים. כולם עשו חישובים ושלחו מכתבים למונטי הול ולמי שעסק בשאלה בעיתונים.
בפועל, דווקא כדאי להחליף! נחזור שלב אחד אחורה לבחירתו של המשתתף. הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי הדלת שהוא בחר הוא , והסיכוי שהיא לא נמצאת מאחוריה הוא , כלומר גדול פי שניים. כאשר המנחה פתח את אחת מהדלתות שמאחוריה אין מכונית, הסיכוי שהיא נמצאת מאחורי כל אחת מהדלתות האחרות הוכפל והפך ל- (ולא ).
אז נאמל”ק את הכל:
למרות שהאינטואיציה שלנו לוחשת לנו להישאר עם מה שבחרנו בהתחלה, המתמטיקה מראה אחרת – להחליף!
במקרה של בחירה, שבה מוצגת אפשרות “שגויה” כמו שתיארנו כאן, החלפת הבחירה המקורית שלנו דווקא מכפילה את הסיכוי שלנו לזכות ולכן החלפה תהיה החלטה חכמה.
אז בעתיד, כשתעמדו בפני בחירה בין אם בשעשועון ובין אם בחיים, תזכרו את מונטי הול, המכונית והעז החביבה 😊
בא לך להתנסות בהסתברות?! אפשר לתרגל וללמוד הסתברות ברמת 3, 4 ו-5 יח”ל!
 |
 |
 |
