מכירים את המצב שבו אתם מחכים לתורכם לשלם בקופה?! לצידכם אנשים נוספים שמחכים כמוכם בדיוק לקופה המיוחלת. ולשלב ההמתנה הזה קדם שלב של קבלת החלטה הרת גורל – באיזה תור לבחור. ואז אחריו הבנתם שאתם עומדים בתור ארוך, אבל הרגשתם שלמים איתו. יחסית כמובן, כי לעמוד בתור זה לא "פיקניק". בתוך זמן קצר עולה בכם תחושה טורדנית – כולם מתקדמים ורק אני תקוע במקום. התור שלכם לא זז. מרגיש ממש כאילו "התור עומד במקום, הזמן ממשיך ללכת".
בכתבה זו אנחנו נתייחס לשני נושאים מתמטיים, זכיתם – שניים במחיר אחד:
- למה תמיד נראה לנו שאנחנו עומדים בתור האיטי מבין כולם?
- איך אפשר לקצר את זמן ההמתנה בתורים (לתשלום בסופר, חנות בגדים, בידוק בטחוני בשדה התעופה, נתיב נסיעה בכביש וכד')?
למה התור שלי הכי איטי?
האם זו סתם תחושה אישית או שבאמת אנחנו נמצאים בתור הכי איטי?
אז התשובה לזה היא שילוב של התחושה האישית והמתמטיקה. מבחינת תחושה אישית ייתכן שכשאנחנו מרגישים שהתור שלנו הוא הכי איטי, אנחנו למעשה לוקים ב"אפקט הדשא של השכן". אולם באמת יכול להיות שאנחנו נמצאים בתור איטי יחסית לאחרים. נסתכל על זה כך – נניח שאתם בסופרמרקט השכונתי ויש בו שתי קופות. בחרתם לעמוד בתור אחד. יש סיכוי של 50% שתהיו בתור האיטי יותר (כמו שיש סיכוי של 50% שתהיו בתור המהיר יותר). בפעם אחרת אתם בסופר, ושם כבר יש חמש קופות. במצב הזה יש כבר סיכוי של 80% (⅘) ששאר התורים מהירים יותר מהתור שלכם. כלומר זו בעצם הסתברות יבשה. לכן לפעמים התחושה שלכם באמת מתכתבת עם המציאות, ויש לכך אישוש מתמטי.
מכאן ניתן להבין שכאשר אנחנו מרגישים שאנחנו עומדים בתור האיטי, גם האנשים העומדים בתורים האחרים עשוים להרגיש כמונו.
העקרון שבבסיס הפתרון
תורים או המתנה בתורים הם ממש תורה מתמטית שבה חוקרים מנסים לפתור את הבעיה או לייעל את זמן ההמתנה בתור. אחת האפשרויות היא כמובן "לפתוח עוד קופה" (או קופות), אבל גם זה לא באמת יפתור את בעיית ההמתנה אם ההספק של הקופאי נמוך או שיש עיכוב כלשהו באותה הקופה. זה בעצם לעשות עוד מאותו הדבר.
למעשה כדי שמערכת תורים תעבוד בצורה יעילה, צריך שהספק העבודה בקופה יהיה גבוה מקצב הגעת הלקוחות אליה. אם המצב הפוך אז נוצר תור שהולך ומתארך ללא הפסקה.
הפתרון – תור הזהב
נמצא שהפתרון המקצר את זמן ההמתנה באופן משמעותי הוא לאחד את כל התורים לתור אחד "מודל התור המאוחד". נכון, יש מצב שתעמדו בתור מאוד ארוך, כמו שקורה למשל בשדה התעופה, אבל בעצם תמתינו פחות או לפחות לא תהיו בתור האיטי ביותר. איך זה עובד? נניח שיש 3 קופות. אם יש עיכוב בקופה אחת, התור לא נעצר כי שתי הקופות האחרות ממשיכות לעבוד. לפי המדידות, התור המאוחד – גם אם הוא ארוך מאוד מקצר את זמן ההמתנה הממוצע של הלקוחות בכמעט 50% ומבטל את חוסר ההוגנות בין הממתינים. בתורים הרגילים והנפרדים, ברגע שיש עיכוב בקופה שבחרנו, שום דבר לא זז. כלומר כולם מסביב זזים, רק אנחנו לא.
הרעיון של התור המאוחד נשען על נוסחאותיו משנת 1909 של המתמטיקאי הדני אגנר קרארופ ארלנג, שניסה באמצעותן בכלל לפתור את בעיית ההמתנה למרכזיית טלפונים ידנית, כדי שאנשים שמחייגים לא ייתקלו בצליל תפוס אלא ימתינו בתור עד שמוקדנית תתפנה אליהם.
איך מחשבים פקק?
כדי לקבוע מתי צריך לפעול, כלומר "לפתוח עוד קופה" או לשנות את משך הרמזור הירוק או האדום בכביש, נעזרים ב"חוק ליטל" (Little's Law). החוק הזה מנסח את אופן חישוב זמן ההמתנה הממוצע בתור כלשהו. על מנת לחשב זאת צריך לחלק את מספר האנשים שנמצאים כרגע בתור ובקופות בקצב שבו אנשים מגיעים אל האזור.
החישוב הזה מאפשר לדעת מראש מתי התור עומד לצאת משליטה. בזכותו ניתן לחשב בדיוק מתי צריך "לפתוח עוד קופה" בסופר כדי למנוע מהתור לעלות על גדותיו. בואו ניקח לדוגמה פקק תנועה. לפי חוק ליטל, זמן ההמתנה בפקק שווה לכמות המכוניות שנמצאת כרגע בפקק חלקי קצב ההצטרפות של מכוניות חדשות. זה בעצם מצב טוב כי עומס המכוניות יציב ובשליטה.
מבחינה מערכתית, מצב טוב (או מצב יציב) הוא מצב שבו קצב המכוניות שמצטרפות להמתנה בפקק שווה לקצב המכוניות שמשתחררות ממנו. זה מצב מאוזן, הפקק לא גדל, וזמן ההמתנה בו נשאר קבוע וצפוי. הבעיה מתעוררת כאשר קצב המכוניות שמצטרפות לפקק גבוה מזה שמשתחררות ממנו. במצב כזה מהנדסי התחבורה מוציאים את הנוסחה "הקטנה" שלנו (כי קוראים לה ליטל, הבנתם?!) ובודקים מה צריך להיות משך הזמן שהרמזור הירוק צריך לפעול על מנת לאזן את הקצבים ולהשיבם לקדמותם. הם בעצם בודקים מהו הערך שיאפשר לשמור על היחס שקבעו ומבחינתם רצוי באותו מיקום.
שורה תחתונה לחיים
אז בפעם הבאה שאתם עומדים בתור – אם הוא מאוחד הרווחתם, אבל אם הוא מפוצל, פשוט קחו הימור והתמסרו לו. זה לא באמת תלוי בכם.
