זוכרים בתקופת בית הספר היסודי כשעוד הייתם בחיתולי המתמטיקה וטעיתם לחשב כמה זה ארבע פחות חמש, והמורה, המבוגר התורן, הגדיל לענות "אין לזה תשובה" או ש"אי אפשר לחסר מספר גדול מקטן"? ואז פתאום בכיתה ז' הפלא ופלא, ציר המספרים נפתח שמאלה והתגלה עולם שלם של מספרים שליליים. פתאום כן היה אפשר לחסר מספר גדול מקטן.
אז אם חשבתם שזו הייתה פשלת הניסוח האחרונה במערכת – תחשבו שוב. האקדח שהופיע במערכה הראשונה יורה עכשיו בתיכון!
מה סיפרו לנו כל השנים?
לימדו אותנו שלמספר שלילי אין שורש מסדר שני. ולא סתם, הביאו את המחשבון לעזר והראו שגם המחשבון לא מסוגל לבצע חישוב כזה, והוא נותן הודעת שגיאה. ואפילו בפתרון נוסחת השורשים, לימדו שאם הדלתא מתחת לשורש שלילית, אז אין פתרון (והפרבולה אינה חותכת את ציר ה-x).
מה מסתבר בתיכון?
לא סתם בתיכון, שניה לפני הסוף. מדי שנה, תלמידי כיתה י"ב 5 יח"ל מתחילים עוד שיעור מתמטיקה והמורה מטיל/ה פצצה – יש שורש למספר שלילי. אלה אומרים לעצמם: "היי! יש לי דה ז'ה וו, כבר הייתי בסרט הזה אי שם ביסודי".
אז חברים, צאו מההלם, אכן יש שורש למספרים שליליים, המכונים מספרים מרוכבים. לא שינו את חוקי המשחק, אלא שזה נושא חדש ומעניין שפותר לנו עוד כמה בעיות בחיים ועל הדרך מפעיל לנו את הטלפונים הניידים, הרחפנים ועוד כמה דברים.
מי אתם ומה אתם, מספרים מרוכבים?
המספרים הללו שימושיים מאוד בהנדסה ובפיזיקה. בזכותם אפילו יש לנו את אפליקציית וייז (waze), רחפנים, מיקרופון שמסנן רעשים למשל כשמקליטים הודעות וואטסאפ ועוד.
המספרים המרוכבים החלו את תפקידם בפתרון משוואות ממעלה שלישית כבר במאה ה-16. לאורך השנים מתמטיקאים התקשו להתמודד איתם כי הם לא היו מוחשיים, למשל ביחס למספרים "רגילים" או נקודות שאפשר לסמן במערכת צירים. המתמטיקאי והפילוסוף דקארט אפילו כינה אותם "דמיוניים" (Imaginary numbers). לבסוף מי שהביא אותם לקדמת הבמה הוא גאוס במאה ה-19.
כולנו משתמשים במספרים ביום יום, אלו שאנחנו מתנהלים איתם בכל תחום בחיים – במסחר, בפרנסה, במדידות שונות, גיל וכן הלאה. המספר שאנו נוקבים בו לציון הגיל שלנו הוא פשוט מספר יחיד. לעומת זאת, מספר מרוכב כולל שני חלקים: חלק ממשי שהוא מספר רגיל כפי שאנחנו מכירים, וחלק מדומה שבו מופיעה היחידה i (מהמילה imaginary, זוכרים?!). היחידה i מייצגת את השורש של 1-.
המישור של גאוס
מאחר שהמספר המרוכב כולל שני חלקים, גאוס הבין שלא ניתן לתארו על גבי ציר חד מימדי. נדרשת מערכת צירים דו מימדית שבה ציר אחד מייצג את החלק הממשי, והציר השני שמאונך לו מתאר את החלק המדומיין. המישור של גאוס בא לתת בדיוק לזה מענה. באמצעותו אפשר להעניק משמעות גיאומטרית מוחשית וויזואלית למספרים המרוכבים ה"דמיוניים". בנוסף המישור מאפשר לקשר בין האלגברה לגיאומטריה – הפעולות האלגבריות הופכות לפעולות גיאומטריות על גבי המישור.
התודה שכולנו חייבים למספרים המרוכבים
כן, הנימוס מחייב להודות ולהעריך כי אילולא המספרים המרוכבים כנראה שהיה לנו קצת פחות נוח בחיים. הזכרנו קודם את הוואטסאפ – שם אנחנו נהנים מהאפשרות להקליט ולשמוע הודעות קוליות באיכות טובה, וזאת כמובן הודות למספרים המרוכבים. בזכותם, הודעה שמוקלטת כשברקע יש רעשים, מעבד הטלפון "מפרק" את גלי הקול לתדרים, ומשאיר רק את אלו הנחוצים להודעה, כלומר את אלו של הקול המוקלט.
אז אם נסכם, המספרים המרוכבים (ה"דמיוניים") הם בעצם אחד הכלים הכי מעשיים שיש. הם הדרך של המדע לקחת בעיות מורכבות ולפשט אותן לתרגילי חיבור וחיסור פשוטים במישור. זה נשמע דרמטי, אבל תכלס המספרים המרוכבים הם המפתח לטכנולוגיה שמפעילה את העולם של כולנו.
