אז המתמטיקה ואיתה בני גורן הגיעו לפריים טיים בזכות אחת מהמשימות המרשימות בתוכנית הטלוויזיה הפופולרית “המירוץ למיליון”.
שלומי ואסף צלחו את משימת בניית פירמידת הכוסות, למרות שהעידו על עצמם שאינם מתמטיקאים
ו”שזה בני גורן להם מדי”. אז מאחר שצלחתם את המשימה הזו אפשר בהחלט להגיד שיש לכם הגיון בריא מאוד, וכנראה שיש בכם קצת מן המתמטיקה ו.. מבני גורן.
מה היתה המשימה?
המשימה שהוטלה על שלומי ואסף היתה לבנות מגדל של 506 כוסות יין שפרוסות על פני 11 שורות שמסודרות במבנה בצורת פירמידה. אין ספק שזה אתגר רציני. הם הבינו מהר שכמות הכוסות בכל שורה יורדת ככל שעולים במבנה. האתגר האמיתי היה לחשב כמה כוסות צריכות להיות בכל שורה כך שהם ישמרו על תנאי המשימה.
איפה המתמטיקה בעצם?
התנאי המרכזי לצליחת המשימה הוא לבנות מגדל יציב, כזה שיאפשר לכל הכוסות להשאר שלמות גם כאשר מוזגים יין לכוסות שבראש המבנה. שלומי ואסף אולי לא ישבו עם מחברת ונוסחאות, אבל המוח שלהם ביצע חישוב מהיר: הם הבינו שבכל קומה שהם עולים, הם צריכים להחסיר כמות מסוימת של כוסות כדי לשמור על היציבות. המתמטיקאים קוראים לזה סדרות, אבל בשביל שלומי ואסף זה היה פשוט ההבדל בין פירמידה שעומדת יציב לבין ערימת כוסות שמתרסקת על הרצפה. המתמטיקה היא פשוט השפה הרשמית של ההגיון הזה.
מהי סדרה?
אנחנו לא יכולים בלי קצת מתמטיקה, בכל זאת בני גורן. וכמובן, אנחנו מתייחסים לסדרות מתמטיות.
המושג סדרה מתייחס לקבוצה של מספרים שמסודרים לפי חוקיות מתמטית כלשהי שמאפשרת לגלות מהו המספר שנמצא במיקום מסוים או לגלות מהו מיקום מספר מסוים בסדרה, וזאת באמצעות נתונים בודדים בלבד.
בבית הספר אנחנו נחשפים לשני סוגי סדרות. האחד הוא סדרה חשבונית, שבה הקשר בין האיברים הוא הוספה או החסרה של מספר כלשהו. השני הוא סדרה הנדסית שבה הקשר בין הספרים (האיברים) הוא הכפלה במספר כלשהו.
איזו סדרה זו?
אם בכל זאת אתם מתעקשים לדעת, אז נסביר את המתמטיקה. 506 הכוסות מסתדרות במבנה באמצעות חוקיות קצת מתוחכמת. הפירמידה ששלומי ואסף בנו מורכבת מ-11 קומות ובעלת בסיס ריבועי. בקומה התחתונה הראשונה היו 121 כוסות, כך שכל צלע בריבוע מורכבת מ-11 כוסות כי בריבוע כל הצלעות שוות. בשורה שמעליה, הם היו צריכים להניח ריבוע קטן יותר, 10 על 10, כלומר 100 כוסות. אם בשורה הראשונה יש 121 כוסות (11X11), בשורה השניה יש 100 כוסות (10X10), בשורה השלישית יש 81 (9X9) , וברביעית 64 (8X8). החוקיות לא קופצת באופן אוטומטי, ההפרש בין 121 ל-100 שונה מההפרש בין 81 ל-64 ששונה מההפרש בין 64 ל-49. אז איפה הסדרה? החוקיות שאנחנו מחפשים בסדרה נמצאת בהפרשי הריבועים הללו. אם נחשב את ההפרש בין קומה לקומה נקבל סדרה חשבונית שהפרשה הוא 2. ההפרש בין 121 ל-100 הוא 21, ההפרש בין 100 ל-81 הוא 19, ההפרש בין 81 ל-64 הוא 17. הסדרה שלנו היא למעשה …17, 19, 21 – סדרה חשבונית שההפרש בין האיברים בה הוא 2.
מתי אני אשתמש בזה?
השאלה המפורסמת שכמעט כל תלמיד מתמטיקה שאל את עצמו. אז הנה, זו דוגמה מעולה. מבלי ששלומי ואסף התכוונו, הם היו צריכים להתמודד עם חישוב מתמטי כדי להתקרב עוד צעד לפרס המיוחל. זה קורה גם בתחומים נוספים, למשל בשלן חובב או שף מדופלם שרוצים להכין קרוקמבוש מפואר (מגדל פחזניות) צריכים לבצע חישוב שינחה אותם כמה פחזניות צריכות להיות בכל קומה (התשובה הלא מתמטית שלנו: הרבה, וכמה שיותר, ועוד קצת;) או מהו קוטר כל קומה בעוגת חתן וכלה מוגזמת.
וזה קורה גם בטבע. הקונכייה של הנאוטילוס – רכיכה בעלת מבנה ספירלי, שהולכת וגדלה ביחס קבוע ככל שבעל החיים גדל, להקות ציפורים במעופן שומרות על במבנה על מרחק קבוע בין ציפור לציפור על מנת שלא יתנגשו, אופן בניית כוורת דבורים ביחידות של משושים – הדבורים מתחילות ממשושה אחד וסביבו שכבת משושים נוספת. כל משושה חולק צלע אחת עם משושה מהשכבה הקודמת. וכך יוצא שסביב המשושה הראשון נוצרות שכבות מכמות המשושים בכל אחת מהן מהוות סדרה חשבונית (משושה אחד, 6 משושים, 12 משושים, 18 משושים וכו’). סדרות ממש מקיפות אותנו מכל כיוון!
אז בפעם הבאה שאתם שומעים בני גורן, אל תחשבו על תרגילים משעממים. תחשבו על היין שנמזג, על הדבש בכוורת ועל הפחזניות המפתות. המתמטיקה היא לא רק הדף שלפניכם, היא יותר מזה.
